Исследование функции на экстремум

\( u = x^3 + y^2 + 2z^2 + xy - 2xz + 3y - \frac{1}{2} \)

Шаг 1: Находим частные производные первого порядка

Приравниваем частные производные к нулю для нахождения критических точек:

\( \frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 + y - 2z = 0 \quad \text{(1)} \)

\( \frac{\partial u}{\partial y} = 2y + x + 3 = 0 \quad \text{(2)} \)

\( \frac{\partial u}{\partial z} = 4z - 2x = 0 \quad \text{(3)} \)

Шаг 2: Решаем систему уравнений

\[ \begin{cases} 3x^2 + y - 2z = 0 \\ x + 2y + 3 = 0 \\ -2x + 4z = 0 \end{cases} \]

Из уравнения (3): \( 4z = 2x \Rightarrow z = \frac{x}{2} \)

Из уравнения (2): \( 2y = -x - 3 \Rightarrow y = -\frac{x}{2} - \frac{3}{2} \)

Подставляем в уравнение (1):

\[ 3x^2 + \left(-\frac{x}{2} - \frac{3}{2}\right) - 2\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \]

\[ 3x^2 - \frac{x}{2} - \frac{3}{2} - x = 0 \]

\[ 3x^2 - \frac{3x}{2} - \frac{3}{2} = 0 \]

Умножаем на 2:

\[ 6x^2 - 3x - 3 = 0 \]

Делим на 3:

\[ 2x^2 - x - 1 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \]

Получаем два решения:

\[ x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \]

Находим соответствующие значения y и z:

Для \( x_1 = 1 \):

\[ y_1 = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2, \quad z_1 = \frac{1}{2} \]

Для \( x_2 = -\frac{1}{2} \):

\[ y_2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{4}, \quad z_2 = -\frac{1}{4} \]

Критические точки: \( (1, -2, \frac{1}{2}) \) и \( (-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4}, -\frac{1}{4}) \)

Шаг 3: Проверяем достаточное условие экстремума

Находим частные производные второго порядка:

\( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 6x \)

\( \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2 \)

\( \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 4 \)

\( \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = 1 \)

\( \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = -2 \)

\( \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = 0 \)

Матрица Гессе:

\[ H = \begin{pmatrix} 6x & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]

Исследуем первую критическую точку \( (1, -2, \frac{1}{2}) \):

\[ H = \begin{pmatrix} 6\cdot1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]

Главные миноры матрицы:

\( M_1 = 6 > 0 \)

\( M_2 = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 11 > 0 \)

\( M_3 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 6 \cdot (2 \cdot 4 - 0 \cdot 0) - 1 \cdot (1 \cdot 4 - 0 \cdot (-2)) + (-2) \cdot (1 \cdot 0 - 2 \cdot (-2)) = 48 - 4 - 8 = 36 > 0 \)

Все главные миноры положительны, значит матрица положительно определена → в точке \( (1, -2, \frac{1}{2}) \) локальный минимум.

Исследуем вторую критическую точку \( (-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4}, -\frac{1}{4}) \):

\[ H = \begin{pmatrix} 6\cdot(-\frac{1}{2}) & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]

Главные миноры матрицы:

\( M_1 = -3 < 0 \)

\( M_2 = \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-3) \cdot 2 - 1 \cdot 1 = -7 < 0 \)

\( M_3 = \begin{vmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (-3) \cdot (2 \cdot 4 - 0 \cdot 0) - 1 \cdot (1 \cdot 4 - 0 \cdot (-2)) + (-2) \cdot (1 \cdot 0 - 2 \cdot (-2)) = -24 - 4 - 8 = -36 < 0 \)

Знаки миноров чередуются, начиная с отрицательного → матрица отрицательно определена → в точке \( (-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4}, -\frac{1}{4}) \) локальный максимум.

Шаг 4: Находим значение функции в точках экстремума

Для точки минимума \( (1, -2, \frac{1}{2}) \):

\[ u = 1^3 + (-2)^2 + 2\cdot(\frac{1}{2})^2 + 1\cdot(-2) - 2\cdot1\cdot\frac{1}{2} + 3\cdot(-2) - \frac{1}{2} \]

\[ = 1 + 4 + 2\cdot\frac{1}{4} - 2 - 1 - 6 - \frac{1}{2} \]

\[ = 1 + 4 + 0.5 - 2 - 1 - 6 - 0.5 = -4 \]

\( u_{\text{min}} = -4 \)

Для точки максимума \( (-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4}, -\frac{1}{4}) \):

\[ u = (-\frac{1}{2})^3 + (-\frac{5}{4})^2 + 2\cdot(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{2})\cdot(-\frac{5}{4}) - 2\cdot(-\frac{1}{2})\cdot(-\frac{1}{4}) + 3\cdot(-\frac{5}{4}) - \frac{1}{2} \]

\[ = -\frac{1}{8} + \frac{25}{16} + 2\cdot\frac{1}{16} + \frac{5}{8} - 2\cdot\frac{1}{8} - \frac{15}{4} - \frac{1}{2} \]

\[ = -0.125 + 1.5625 + 0.125 + 0.625 - 0.25 - 3.75 - 0.5 = -2.3125 \]

\( u_{\text{max}} = -\frac{37}{16} = -2.3125 \)

Вывод

Функция имеет:

1. Локальный минимум в точке \( (1, -2, \frac{1}{2}) \)

Значение функции: \( u_{\text{min}} = -4 \)

2. Локальный максимум в точке \( (-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4}, -\frac{1}{4}) \)

Значение функции: \( u_{\text{max}} = -\frac{37}{16} = -2.3125 \)